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Monografia

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Título:
Projeto de controladores com realimentação de estado estimado via desigualdades matriciais lineares

Data: Outubro de 2016

Orientador: Prof. Dr. Victor Leonardo Yoshimura

Instituição: Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

Finalidade: Trabalho de conclusão de curso (Engenharia de Computação)

Resumo:
Este trabalho mostra um método de projeto de controladores para sistemas lineares contínuos invariantes no tempo com realimentação de estado estimado por meio de desigualdades matriciais lineares (LMIs). Para estimar estados, usa-se observadores de Luenberger (também chamados simplesmente de "observadores" ou "estimadores"), cuja função é calcular as variáveis que não podem ser medidas por meio da observação das variáveis a que se tem acesso. O método é estendido para a alocação de polos em lugares específicos do plano complexo para se alcançar o que é chamado de D-estabilidade. Essa alocação permitirá limitar a parte real, o módulo e o argumento dos polos, cujas consequências são limitar o tempo de acomodação, o amortecimento e a frequência natural do sistema. São omitidas as técnicas usadas para escolher regiões adequadas para os polos, supondo-se que essas regiões sejam previamente conhecidas. Também são mostrados casos que envolvem incertezas politópicas na planta. São projetados para eles controladores robustos com realimentação de estado real. São justificados os motivos que impedem o uso de estados estimados (usando as técnicas abordadas) quando existe incerteza. Este trabalho inclui a teoria e os procedimentos necessários para se transformar problemas de projeto de controle em problemas de desigualdades matriciais, e as desigualdades matriciais são resolvidas com o uso de ferramentas computacionais. A teoria mostrada é ilustrada com o exemplo de um motor de corrente contínua, onde parte-se da modelagem e aborda-se os casos discutidos ao longo do texto para se projetar controladores e observadores com diferentes objetivos. Após a obtenção dos resultados, o sistema é simulado e seu comportamento é analisado.

Resumen:
Este trabajo presenta un método de diseño de controladores con realimentación de estado estimado para sistemas lineales continuos invariantes en el tiempo a través de desigualdades matriciales lineales (LMIs). Se utilizan observadores de Luenberger (también conocidos simplemente como "observadores" o "estimadores") para estimar los estados. La función de estos observadores es calcular las variables que no pueden ser medidas a través de la observación de las variables que se conoce. El método se generaliza para los casos en que se desea colocar los polos del sistema en lugares específicos del plano complejo y llegar a lo que se llama D-estabilidad. Tal asignación permite limitar la parte real, el módulo y el argumento de los polos, cuyas consecuencias son limitar el tiempo de establecimiento, amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema. Los procedimientos utilizados para elegir las regiones apropiadas para los polos serán omitidos. En vez de eso, se supondrá que estas regiones son conocidas previamente. También se muestran los casos que contienen incertidumbres politópicas en la planta. Se diseña controladores robustos con realimentación de estado real para ellos. Se justifica las razones que impiden el uso de estados estimados (al menos con las técnicas de este trabajo) cuando existe incertidumbre. Este trabajo incluye todos los conceptos teóricos y procedimientos necesarios para convertir problemas de control en problemas de desigualdades matriciales lineales. Las desigualdades matriciales son resueltas con herramientas computacionales. La teoría presentada es ilustrada con un ejemplo de un motor de corriente continua, empezando con la modelización de él y siguiendo hacia el abordaje de los casos discutidos en el texto para el diseño de controladores y observadores con diferentes objetivos. Después de una obtención de resultados, el sistema es simulado y su comportamiento es analizado.

Abstract:
This work presents a method to design controllers with estimated state feedback for linear, time-invariant, continuous-time systems via linear matrix inequalities (LMIs). Luenberger observers (also known simply as "observers" or "estimators") are used to estimate the states. These observers' role is to calculate the variables that cannot be measured through the observation of the known variables. The method is extended to cases where it is important to place systems' poles in specific locations of the complex plane and reach what is called a D-stability. Such placement allows the real part, the modulus, and the argument of the poles to be limited, which in turn limits the system's settling time, damping and natural frequency. Procedures used to choose appropriate regions for the poles are omitted. Instead, it is assumed that these regions are previously known. This work also shows cases involving polytopic uncertainties on the plant, which are resolved with the use of robust controllers with state feedback. Some discussion is made about why the techniques used do not allow the usage of estimated states when there are uncertainties. This work includes all the theoretical concepts and procedures required to turn controller design problems into linear matrix inequalities problems. The matrix inequalities are then solved by the use of computer tools. The theory shown is illustrated with the example of a direct current motor, starting from the modeling and approaching the cases discussed in the text in order to design controllers and observers having different goals. After obtaining the results, the system is simulated and its behavior is analysed.

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